Welcome to pick's blog

Mengawali dengan HTML

2009-09-02T11:16:00.005+07:00

Ini adalah sebuah perkenalan singkat menganai bagaimana menulis HTML. Apakah HTML itu? HTML adalah sebuah jenis teks dokumen khusus yang digunakan oleh Web browser untuk mempresentasikan teks dan gambar. Di dalam teks tersebut terdapat tag markup seperti

untuk menandakan awal dari sebuah paragraf, dan

untuk menandakan akhir dari sebuah paragraf. Dokumen HTML sering disebut sebagai "halaman Web". Browser mengambil halaman Web dari Web server dan karena adanya Internet, halaman tersebut bisa berada di manapun di dunia.

Banyak orang masih menulis HTML secara manual menggunakan perangkat lunak seperti NotePad pada Windows, atau TextEdit pada Mac. Petunjuk ini akan membuat anda membantu anda memahami dan membuatnya sendiri. Dan bila anda tidak ingin mengedit HTML secara manual dan ingin menggunakan HTML editor seperti Netscape Composer, atau W3C Amaya, petunjuk ini akan membuat anda mengerti, cukup untuk membuat anda mampu menggunakan perangkat tersebut lebih baik dan membuat dokumen HTML anda dapat di akses oleh berbagai macam browser. Begitu anda merasa nyaman dengan konsep dasar pembuatan HTML, anda mungkin ingin belajar bagaimana menambahkan style menggunakan CSS, dan lanjut dengan fitur yang dibahas pada halaman saya di HTML lanjutan.

catatan. sebauah cara yang baik untuk belajar ialah dengan melihat bagaimana orang lain menulis halaman HTML mereka sendiri. Untuk melakukan hal ini, click pada menu "View" lalu pada "Source". Pada beberapa browser, anda perlu mengklik pada menu "File" dan kemudian pada "View Source". Cobalah pada halaman ini untuk melihat bagaimana saya menerapkan beberapa ide yang saya jelaskan dibawah. Anda akan menyadari bahwa anda mengembangkan kemampuan untuk melihat kesalahan kesalahan yang dibuat karena banyak halaman terlihat bagus sumbernya sebenarnya berantakan!

Untuk pengguna Mac, sebelum anda dapat dapat menyimpan file dengan akhiran (extention) ".html", anda harus memastikan bahwa dokumen anda di ketik dalam bentuk plain text. Untuk TextEdit, anda dapat membuatnya dengan opsi "Make Plain Text" dari menu "Format".

Halaman ini akan mengajarkan anda bagaimana:

mulai dengan sebuah judul
mulai menambah heading dan paragraf
menambah emphasis pada teks
menambah gambar
menambah link ke halaman lain
menggunakan berbagai macam list (daftar)

Bila anda mencari hal yang lain, cobalah halaman HTML lanjutan.

Mulai dengan sebuah judul

Tiap dokumen HTML membutuhkan sebuah judul. Anda perlu mengetiknya sebagai berikut:

Dokumen HTML saya yang pertama

Ganti teks tersebut "Dokumen HTML saya yang pertama" sesuai kebutuhan anda. Teks judul tersebut diawali dengan tag pembuka dan diakhiri dengan tag penutup yang sesuai . Judul ini harus ditempatkan diawal dokumen anda.

Untuk mencoba hal ini, ketik hal diatas dalam sebuah teks editor dan simpan file tersebut sebagai "test.html", dan lihat dengan sebuah web browser. Bila akhiran file tersebut adalah ".html" or ".htm" maka browser akan mengenalinya sebagai HTML. Kebanyakan browser muncul di menunjukkan judul di bagian caption bar dari browser. Dengan hanya sebuah title, browser akan menunjukkan sebuah halaman kosong. Jangan khawatir. Bagian berikut akan menunjukkan bagaimana menambahkan konten yang dapat di lihat.

Menambah heading dan paragraf

Bila anda pernah menggunakan Microsoft Word, anda akan terbiasa dengan style yang ada untuk heading dengan tingkat kepentingan yang berbeda. Pada HTML ada enam tingkatan heading. H1 adalah yang paling penting, H2 lebih sedikit kurang penting, seterusnya hingga H6, yang paling tidak penting.

Berikut adalah cara menambah sebuah heading yang penting:

Sebuah heading yang penting

dan beikut sebuah heading yang kurang begitu penting:

Sebuah heading yang sedikit kurang penting

Setiap paragraf yang anda tulis harus diawali dengan tag

. Tag

merupakan opsi, tidak seperti end tag untuk elemen seperti heading. Sebagai contoh:

Ini adalah paragraf pertama.

Ini adalah paragraf kedua.

Menambahkan sedikit of emphasis

Anda dapat menambahkan tekanan (emphasis) pada satu atau dua buat kata dengan tag , sebagai contoh:

Topic ini adalah topik yang sangat menarik!

Menambahkan perhatian pada halaman dengan gambar - gambar

Gambar-gambar dapat digunakan untuk membuat halaman Web anda berbeda dengan yang lain dan sangat membantu anda dalam menyampaikan pesan anda. Cara mudah untuk menambahkan gambar adalah dengan menggunakan tag . Mari assumsikan bahwa anda memiliki sebuah gambar dengan bernama "peter.jpg" di folder/directory file HTML anda. Gambar tersebut tingginya 200 pixel dan lebar 150 pixel.

Attribut src anda beri nama file gambar tersebut. Width dan height tidak diwajibkan tetapi membantu mempercepat tampilannya di halaman Web anda. Sesuatu masih kurang! Orang yang tidak dapat melihat gambar membutuhkan deskripsi yang mereka bisa baca sebagai penggantinya. Anda bisa menambahkan penjelasan singkat sebagai berikut:

alt="Teman saya Peter" />

Atribut alt digunakan untuk memberikan deskripsi singkat, dalam hal ini "My friend Peter". Untuk gambar yang kompleks, anda mungkin perlu menambahkan deskripsi yang lebih panjang. Dengan asumsi bahwa hal ini telah tertulis pada file "peter.html", anda dapat menambahkan hal berikut menggunakan atribut longdesc:

alt="Teman saya Peter" longdesc="peter.html" />

Anda dapat membuat gambar dengan berbagai cara, sebagai contoh dengan sebuah digital kamera, dengan mengscan sebuah gambar, atau membuatnya dengan menggunakan program untuk menggambar atau melukis. Kebanyakan browser mengerti format gambar GIF dan JPEG, browser baru juga mengerti format gambar PNG. Untuk menghindari waktu yang lama ketika gambar tersebut di download melewati jaringan, anda sebaiknya menghindari penggunaan file gambar yang besar.

Secara umum, JPEG paling baik digunakan untuk photo dan gambar lain yang sejenis, segankan GIF dan PNG baik untuk gambar seni yang melibatkan warna yang datar, garis dan tulisan. Ketiga format mendukung opsi untuk di render secara bertahap (progressive rendering) dimana gambar kasarnya diperlihatkan dahulu lalu secara perlahan di haluskan.

Menambahkan link ke halaman lain.

Apa yang membuat Web sangat efektif adalah kemampuan untuk membuat link dari satu halaman ke halaman yang lain, dan mengikutinya hanya dengan sebuah klik. Sebuah klik dapat membawa anda langsung ke seberang dunia!

Link didefinisikan dengan tag . Mari membuat sebuah link pada file "peter.html" di folder/direktori yang sama dengan file HTML yang sedang anda edit::

Ini adalah link ke halamannya Peter.

Teks antara dan digunakan sebagai keterangan dari link. Adalah hal yang umum bagi keterangan tersebut untuk diberi garis bawah berwarna biru.

Bila file yang anda link adalah direktori asal (parent directory), anda perlu menambahkan "../" sebelumnya, sebagai contoh:

halamannya Mary

Bila file yang dilink adalah sebuah sub direktori, anda perlu memberikan nama dari subdirektori tersebut diikuti sebuah "/" setelahnya, sebagai contoh:

halamannya Sue

Penggunaan relative path memungkinkan anda melink sebuah file dengan pergi naik atau turun direktori sesuai kebutuhan, sebagai contoh":

halamannya John

Di mana pertama kali akan dicari pada direktori asal, dari sebuah direktori lain bernama "college", dan kemudian sebuah subdirektori dengan nama "friends" untuk sebuah file dengan nama "john.html".

Untuk melink ke sebuah halaman atau situs Web lain anda perlu memberikan alamat lengkap Web (umumnya dinamakan URL), sebagai contoh untuk melink ke www.w3.org anda perlu menuliskan:

Ini adalah sebuah link menujuW3C.

Anda dapat mengubah sebuah gambar menjadi sebuah link hypertext, sebagai contoh, berikut ini memungkinkan anda untuk mengklik pada logo perusahaan untuk pergi ke halaman utama / depan:

Contoh ini menggunakan "/" untuk menghubungi direktori asal, yang mana adalah home page.

Tiga jenis daftar

HTML mendukung tiga jenis daftar. Jenis yang pertama adalah daftar dengan bullet (bulletted list), atau sering disebut unordered list. Yang menggunakan tag
dan
, sebagai contoh:

list item pertama

list item kedua

list item ketiga

Catatan bahwa anda perlu mengakhiri daftar dengan tag
, tetapi tag merupakan opsi dan dapat di hiraukan. Jenis daftar kedua adalah daftar dengan nomor, yang sering juga disebut ordered list. Hal tersebut menggunakan tag
dan
. Sebagai contoh:

list item pertama

list item kedua

list item ketiga

Seperti juga bulletted lists, anda perlu mengakhiri daftar dengan tag
, tetapi tag penutup merupakan opsi dan dapat di hiraukan.

Yang ketiga dan yang terakhir adalah daftar definisi. Daftar ini memungkinkan anda untuk membuat daftar suatu hal dan penjelasannya. Daftar ini diawali dengan sebuah tag
dan diakhiri dengan
Tiap hal diawali dengan sebuah tag
dan tiap penjelasannya diawali dengan sebuah tag
. Sebagai contoh:

hal pertama

penjelasannya

hal kedua

penjelasannya

hal ketiga

penjelasannya

Tag penutup dan
merupakan opsi dan dapat diabaikan. Perlu dicatat bahwa daftar ini bisa saling disisipkan, satu diantari yang lain. Sebagai contoh:

list item pertama

list item kedua

list pertama yang disisipkan

list kedua yang disisipkan

list item ketiga

Anda juga dapat menggunakan paragrapf dan heading dsb. untuk daftar hal yang lebih panjang..

HTML memiliki sebuah head dan body

Bila anda menggunakan fitur view source dari web browser anda (lihat menu View atau File) anda dapat melihat struktur dari halaman HTML. Dokumen tersebut biasanya dimulai dengan sebuah perrnyataan versi HTML yang digunakan HTML, dan kemudian diawali dengan sebuah tag dikuti dengan tag dan diakhiri dengan . Tag ... berfungsi sebagai sebuah kontainer untuk dokumen tersebut. Tag ... mengandung judul, dan informasi style dan script, sementara ... mengandung markup dari isi yang terlihat. Berikut adalah sebuah pola yang dapat anda copy dan paste ke text editor untuk menciptakan halaman anda sendiri:

"http://www.w3.org/TR/html4/loose.dtd">

<em><span style="font-family: "Courier New";">ganti dengan judul dokumen anda</span></em>

ganti dengan isi dokumen anda

Merapikan markup anda

Sebuah cara yang tepat untuk memperbaiki markup secara otomatis adalah dengan menggunakan HTML Tidy yang juga merapikan markup agar dapat dibaca dengan baik dan lebih mudah di edit. Saya sarankan agar anda menggunakan Tidy pada tiap markup yang anda edit. Tidy sangat efektif untuk membersihkan markup yang dibuat oleh peralatan yang memiliki kebiasaan buruk. Tidy tersedia untuk berbagai macam sistem operasi dari TidyLib Sourceforge site, dan juga telah di integrasikan dengan berbagai macam peralatan mengedit HTML.

Mendapatkan Informasi Lebih Lanjut

Bila anda ingin belajar lebih jauh, saya telah menyiapkan beberapa materi penunjangmengenai HTML lanjutan dan menambahkan sedikit style.

Rekomendasi W3C tentang HTML 4.0 adalah spesifikasi yang sifatnya mutlak untuk HTML. Tetapi, hal tersebut adalah sebuah spesifikasi teknis. Untuk sebuah informasi yang bersifat lebih kurang teknis anda mungkin ingin membeli salah satu dari sekian banyak buku mengenai HTML, sebagai contoh "Raggett on HTML 4", yang diterbitkan 1998 oleh Addison Wesley. Sekarang XHTML 1.0 adalah Rekomendasi W3C. Semoga beruntung dan mulailah menulis!

Turbo C++

2009-06-25T16:51:00.005+07:00
Kuis no. 1
------------------------------------------------------------------------------------------
#include
main()
{
float b;
char a;

printf("Masukkan nama sales : ");scanf("%s",&a);
printf("Masukkan jumlah penjualan : ");scanf("%f",&b);

if(b<100000000) b="="100000000)">100000000)
printf("\nBonus yang anda dapatkan adalah mengalami promosi kenaikan pangkat");
}

Kuis no. 2
------------------------------------------------------------------------------------------
#include
main()
{
int baris,kolom,hasil_kali;
printf("Bilangan Kuadrat\n");
for(baris=1;baris<=10;baris++) { for(kolom=1;kolom<=1;kolom++) { hasil_kali=baris*baris; printf("%4d %4d",baris,hasil_kali); } printf("\n"); } }

Kuis no. 3
------------------------------------------------------------------------------------------
#include
main()
{
int a;
for(a=1;a<=1;a+=1)
printf("*");
printf("\n");
for(a=1;a<=2;a+=1)
printf("*");
printf("\n");
for(a=1;a<=3;a+=1)
printf("*");
printf("\n");
for(a=1;a<=4;a+=1)
printf("*");
printf("\n");
for(a=1;a<=5;a+=1)
printf("*");
printf("\n");
}

Matematika Diskrit

2009-06-23T20:53:00.004+07:00

KOMBINATORIK

Hukum Penggandaan
Misalkan suatu percobaan terdiri atas dua operasi atau lebih. Setiap kemungkinan/cara dalam operasi pertama dapat dilanjutkan dengan operasi kedua, dan setiap operasi kedua dapat dilanjutkan dengan operasi ketiga dan seterusnya. Maka banyaknya cara yang dapat dibentuk dalam percobaan tersebut dapat diperoleh berdasarkan hasil kali dari masing-masing kemungkinan tiap-tiap operasi.

Misalkan kita mau pergi dari Jakarta ke Bandung dengan bus umum. Dari Jakarta ke Bogor ada tiga cara, yaitu : lewat parung, lewat Cibinong, dan lewat tol Jagorawi. Sedangkan dari Bogor ke Bandung ada dua cara, yaitu : lewat Puncak dan lewat Sukabumi. Sehingga banyaknya cara untuk pergi dari Jakarta ke Bandung adalah 3 x 2 = 6 cara.

Teorema :
Jika operasi pertama dapat dilakukan dengan n1 cara dan setiap cara ini dilanjutkan dengan operasi kedua yang dapat dilakukan dengan n2 cara, dan setiap cara sebelumnya dilanjutkan lagi dengan operasi ketiga yang dapat dilakukan dengan n3 cara, dan seterusnya sampai sederetan k buah operasi, maka semua operasi tersebut dapat dikerjakan secara bersama-sama dengan = n1 x n2 x n3 x …. x nk cara.

Contoh :
Misalkan dalam suatu ujian soalnya terdiri atas 10 soal pilihan ganda. Setiap soal terdiri atas empat pilihan (A, B, C, D). Dengan berapa cara ke-10 soal tersebut dapat dijawab ?

Jawab : 4 x 4 x 4 x …. x 4 = 410 = 1048576 cara
Soal :
Seseorang akan membuat plat nomor yang masing-masing terdiri atas lima digit. Tiga digit pertama diisi dengan huruf kapital dan dua digit terakhir diisi dengan angka. Huruf O dan I tidak boleh digunakan karena mirip dengan angka 0 dan 1. Huruf pertama harus konsonan, dan digit terakhir harus angka genap. Tentukan berapa banyak plat nomor berbeda yang dapat dibuat ?

Jawab : 21 x 24 x 24 x 10 x 5 = 604800 buah plat nomor

Hukum Penjumlahan
Hukum penjumlahan digunakan untuk menghitung banyaknya cara yang diperoleh dalam suatu percobaan yang mengandung lebih dari satu alternatif/pilihan. Untuk memudahkan pemahaman, kasus ini dapat disetarakan dengan perhitungan anggota gabungan dua buah gugus atau lebih yang saling terpisah, dalam hal ini banyaknya cara yang dapat dilakukan untuk masing-masing alternatif dapat disetarakan dengan jumlah anggota masing-masing gugus.

Misalkan kita mau pergi dari Bogor ke Jakarta. Berdasarkan jenis angkutan umum yang digunakan, ada dua kemungkinan yaitu naik bus atau naik kereta api. Jika naik bus, maka ada tiga cara, yaitu lewat Parung, Cibinong, dan Tol Jagorawi. Sedangkan jika naik kereta api hanya ada satu cara. Jadi banyaknya cara pergi dari Bogor ke Jakarta adalah 3 + 1 = 4 cara.

Teorema :
Jika suatu operasi diselesaikan dengan k alternatif, alternatif pertama dapat dilakukan dengan n1 cara, dan seterusnya sampai alternatif k dengan nk cara, maka operasi tersebut dapat dilakukan dengan (n1 + n2 + …. + nk) cara

PERMUTASI

Definisi : Permutasi adalah susunan yang dapat dibentuk dari sekumpulan obyek yang dipilih sebagian atau seluruhnya dengan memperhatikan urutan.

Teorema 1 : Jika ada n buah benda yang berbeda maka banyaknya permutasi (susunan berbeda) dari n benda tersebut adalah P(n,n) = n !.
Contoh : Misalkan dalam suatu kelas yang terdiri atas 6 mahasiswa dan 4 mahasiswi, semua mahasiswa akan disusun berdasarkan hasil ujiannya. Jika tidak ada dua orang atau lebih yang mendapat nilai yang sama, maka banyaknya urutan yang mungkin adalah
Jawab : banyaknya ada 10 ! = 10 x 9 x 8 x … x 1 = 3628800

Teorema 2 : Jika benda sejenis tidak dibedakan, banyaknya permutasi dari n buah benda dengan n1 benda memiliki jenis pertama, n2 benda memiliki jenis kedua dan seterusnya hingga nk benda memiliki jenis ke-k adalah
Contoh : Tentukan banyaknya permutasi (susunan huruf yang berbeda) yang dapat dibuat dengan menggunakan huruf-huruf yang terdapat pada kata “ MATEMATIKA “
Jawab : banyaknya = = 151200 buah

Teorema 3 : Banyaknya permutasi dari n benda yang berbeda jika diambil r benda sekaligus (disebut permutasi tingkat r dari n) adalah
P(n,r) =
Contoh : Suatu panitia yang terdiri atas 3 mahasiswa (ketua, sekretaris, dan bendahara) akan dipilih dari 8 mahasiswa yang ada. Maka banyaknya susunan panitia berbeda yang mungkin adalah
Jawab : P(8,3) = = 336 buah
SOAL-SOAL
1. Misalkan dalam suatu kelas yang terdiri atas 6 mahasiswa dan 4 mahasiswi, semua mahasiswa akan disusun berdasarkan hasil ujiannya. Jika tidak ada dua orang atau lebih yang mendapat nilai yang sama, maka banyaknya urutan yang mungkin jika yang pria diurut sesama pria lalu diikuti oleh yang wanita diurut sesama wanita adalah ?
2. Misalkan kita memiliki 3 buah buku matematika dengan judul yang berbeda, 4 buah buku computer dengan judul yang sama, dan 5 buah buku fisika dimana 2 diantaranya memiliki judul yang sama. Tentukan banyaknya susunan berbeda jika semua buku-buku tersebut akan disusun memanjang dalam suatu rak buku ?
3. Misalkan tersedia 9 buah digit angka yaitu 1 , 2 , 3 , … , 9. Jika akan dibuat suatu nomor yang terdiri atas 4 digit dengan syarat setiap digit hanya boleh digunakan satu kali, maka berapa banyak nomor berbeda ? dan berapa banyak nomor berbeda dengan nomor genap ?

KOMBINASI

Definisi : Kombinasi adalah kelompok yang dapat dibentuk dari sekumpulan obyek yang dipilih sebagian atau seluruhnya dengan tidak memperhatikan urutan.

Teorema 1 : Banyaknya kombinasi dari n benda yang berbeda jika dipilih sebanyak r buah benda adalah
C (n,r) =
Contoh : Misalkan sebuah panitia terdiri atas 3 mahasiswa akan dipilih dari 8 mahasiswa yang ada, maka banyaknya panitia berbeda yang dapat dibentuk adalah
Jawab : C (8,3) = = 56 buah

Teorema 2 : Banyaknya cara membagi n buah benda yang berbeda ke dalam k buah sel, dimana sel pertama berkapasitas n1 benda, sel kedua berkapasitas n2 benda, dan seterusnya sampai sel ke-k berkapasitas nk benda (urutan benda dalam tiap sel tidak diperhatikan) adalah

Contoh : Misalkan ada 15 mahasiswa akan pergi bertamasya dengan menggunakan 3 buah mobil. Mobil pertama berkapasitas 5 orang, mobil kedua berkapasitas 4 orang dan mobil ketiga berkapasitas 6 orang. Maka banyaknya cara berbeda untuk mengalokasikan 15 mahasiswa ke dalam 3 mobil tersebut adalah
Jawab : = 630630 cara

Teorema 3 : Jika ada n buah benda akan disebar ke k buah tempat, maka ada sebanyak kn cara penyebarannya.
Contoh : Misalkan ada 3 buah kelereng akan disebar ke 3 buah kotak, maka banyaknya cara penyebaran adalah
Jawab : banyaknya = 33 = 27 cara

SOAL-SOAL
1. Misalkan sebuah panitia yang terdiri atas 3 orang akan dipilih dari 4 pasang suami istri yang ada, maka banyaknya panitia berbeda yang dapat dibentuk jika panitia yang terbentuk harus terdiri atas 2 pria dan 1 wanita adalah ?
2. Misalkan ada 15 orang terdiri dari 3 orang guru dan 12 orang siswa akan pergi bertamasya dengan menggunakan 3 buah mobil. Mobil pertama berkapasitas 5 orang, mobil kedua berkapasitas 4 orang dan mobil ketiga berkapasitas 6 orang. Maka banyaknya cara berbeda untuk mengalokasikan 15 mahasiswa ke dalam 3 mobil tersebut jika setiap mobil ada seorang guru adalah ?
3. Misalkan ada 3 buah kelereng akan disebar ke 3 buah kotak, maka banyaknya cara penyebaran jika setiap kotak harus berisi paling sedikit sebuah kelereng adalah ?
4. Misalkan ada 3 buah kelereng akan disebar ke 3 buah kotak, maka banyaknya cara penyebaran jika paling sedikit dua buah kotak berisi kelereng adalah ?

R E L A S I

Definisi :
(1) Relasi R pada himpunan X disebut relasi keekuivalenan, jika R refleksif, simetris dan transitif
(2) Relasi R pada himpunan X disebut urutan parsial, jika R refleksif, antisimetris dan transitif
Sifat-sifat relasi :
(a) Relasi R pada himpunan X disebut refleksif jika untuk setiap x  X maka (x,x)  R
(b) Relasi R pada himpunan X disebut simetris jika (x,y)  R maka (y,x)  R untuk semua x, y  X
(c) Relasi R pada himpunan X disebut antisimetris jika (x,y)  R dan x ≠ y maka (y,x)  R untuk semua x, y  X
(d) Relasi R pada himpunan X disebut transitif jika (x,y)  R dan (y,z)  R maka (x,z)  R untuk semua x, y, z  X

Contoh :
(1) Misalkan R adalah relasi pada X = { 1 , 2 , 3 , 4 } yang didefinisikan oleh (x,y)  R jika x  y dengan x,y  X
(2) Relasi R pada X = { a , b , c , d } yang didefinsikan oleh R = { (a,a) , (b,c) , (c,b) , (d,d) }
(3) Periksa soal nomor (1) dan (2) apakah R refleksif, simetris, antisimetris, dan transitif !

FUNGSI DAN KOMPOSISI FUNGSI
G R U P

Definisi : Suatu himpunan G yang tidak kosong dan suatu operasi biner “o” yang didefinisikan pada G membentuk suatu grup bila dan hanya bila memenuhi sifat-sifat berikut :
(1) Operasi “o” pada G bersifat assosiatif, yaitu untuk setiap a, b, c  G maka ( a o b ) o c = a o ( b o c )
(2) G terhadap operasi biner “o” mempunyai elemen identitas, yaitu ada I  G sedemikian hingga a o I = I o a = a untuk setiap a  G
(3) Setiap elemen G mempunyai invers terhadap operasi biner “o” dalam G, yaitu untuk setiap a  G ada a-1  G sedemikian hingga a o a-1 = a-1 o a = I, dimana I adalah elemen identitas dari G
Jika himpunan G terhadap operasi biner “o” membentuk suatu grup, maka grup G ini dinyatakan dengan notasi “(G;o)”. Tidak setiap grup memiliki sifat komutatif terhadap operasi binernya. Jika grup (G;o) masih memenuhi sifat bahwa :
(4) Operasi biner “o” pada G bersifat komutatif, yaitu untuk setiap a, b  G maka a o b = b o a. Maka grup (G;o) disebut grup abelian (grup komutatif)
Contoh :
(1) Himpunan bilangan bulat B = { …, -2, -1, 0, 1, 2, … } terhadap operasi biner penjumlahan apakah membentuk suatu grup ?
(2) H = { 0, 1, 2, 3 } yaitu himpunan semua bilangan terkecil modulo 4. Operasi penjumlahan modulo 4 adalah operasi biner pada H. Apakah H membentuk suatu grup ?
(3) Himpunan bilangan asli A = { 1, 2, 3, 4, … } pada operasi biner perkalian apakah membentuk suatu grup ?
(4) Himpunan bilangan Riil (terdiri dari bilangan bulat dan bilangan pecahan) pada operasi biner perkalian apakah membentuk suatu grup ?

SOAL-SOAL GRUP
1. H = { 0 , 1 , 2 , 3 }, yaitu himpunan semua residu terkecil modulo 4. Apakah H pada operasi penjumlahan modulo 4 merupakan suatu grup?
2. G = { 2 , 4 , 8 } adalah himpunan semua residu terkecil modulo 14. Apakah G pada operasi perkalian modulo 14 merupakan suatu grup?
3. S = { 1 , - 1 , i , - i }. Tunjukkan bahwa perkalian himpunan S merupakan suatu grup? Dengan i = √- 1 atau i2 = - 1
4. M = { 1 , 2 , 3 , 4 } adalah himpunan semua residu terkecil modulo 5. Apakah M pada operasi perkalian modulo 5 merupakan suatu grup?
5. Operasi-operasi biner o dan ∆ berturut-turut pada A = { p , q , r , t } didefinisikan seperti pada tabel-tabel berikut :
o p q r t ∆ p q r t
p
q
r
t p q r t
q q r t
r r r t
t t t t p
q
r
t p p p p
p q q q
p q r r
p q r t
Tunjukkan :
(a) Apakah pada A berlaku sifat distributive kanan ∆ terhadap o
(b) Apakah pada A berlaku sifat distributive kiri ∆ terhadap o
(c) Apakah pada A berlaku sifat distributive kanan o terhadap ∆
(d) Apakah pada A berlaku sifat distributive kiri o terhadap ∆

SIFAT-SIFAT SEDERHANA DARI GRUP

1. Sifat Kanselasi (Penghapusan)
( G ; o ) suatu grup, maka untuk setiap a, b, c,  G, berlaku
(a) Jika a o b = a o c maka b = c (Kanselasi kiri)
(b) Jika b o a = c o a maka b = c (Kanselasi kanan)
2. Sifat Penyelesaian Tunggal
( G ; o ) suatu grup dan a, b  G maka persamaan a o x = b dan y o a = b mempunyai penyelesaian tunggal.
3. Sifat Invers dari Invers
Jika ( G ; o ) suatu grup, maka untuk setiap a  G, invers dari invers a adalah a atau ditulis untuk setiap a  G, maka ( a-1 )-1 = a.
4. Sifat Invers
( G ; o ) adalah suatu grup, maka untuk setiap a, b  G berlaku ( a o b )-1 = b-1 o a-1

Contoh soal
1. Jika ( G ; o ) suatu grup sedemikian rupa sehingga untuk setiap a, b  G berlaku ( a o b )2 = a2 o b2 maka buktikan bahwa ( G ; o ) suatu grup abelian (komutatif)
2. Jika ( G ; o ) suatu grup sedemikian rupa sehingga untuk setiap a, b  G berlaku ( a o b )-1 = a-1 o b-1 maka buktikan bahwa ( G ; o ) suatu grup abelian (komutatif)
3. ( G ; o ) suatu grup berorder genap, buktikan bahwa ada elemen a  G dengan a  I dan a2 = I.

TEOREMA GRUP

1. Jika himpunan S terhadap operasi biner o mempunyai elemen identitas maka elemen identitas itu tunggal (satu).
2. Misalkan o adalah suatu operasi biner pada himpunan S. Jika x  S mempunyai invers terhadap operasi o maka invers dari x tersebut adalah tunggal (satu).
3. Misalkan operasi-operasi biner  dan o terdefinisikan pada suatu himpunan S. Jika untuk setiap x, y, z  S berlaku x  ( y o z ) = ( x  y ) o ( x  z ), maka pada S berlaku sifat distributif kiri  terhadap o.
Contoh : Jika a, b, c  S didefinisikan a  b = a2 b tunjukkan berlaku distributif kiri  terhadap penjumlahan.
a  ( b + c ) = a2 ( b + c ) = a2 b + a2 c .... (1)
( a  b ) + ( a  c ) = a2 b + a2 c …. (2)
Dari (1) dan (2) diperoleh a  ( b + c ) = ( a  b ) + ( a  c ) atau berlaku distributif kiri  terhadap penjumlahan.
4. Misalkan operasi-operasi biner  dan o terdefinisikan pada suatu himpunan S. Jika untuk setiap x, y, z  S berlaku ( y o z )  x = ( y  x ) o ( z  x ), maka pada S berlaku sifat distributif kanan  terhadap o.
Contoh : Jika a, b, c  S didefinisikan a  b = a2 b tunjukkan berlaku distributif kanan  terhadap penjumlahan.
( b + c )  a = ( b + c )2 a = (b2 + 2bc + c2 ) a = b2 a + 2abc + c2 a …. (1)
( b  a ) + ( c  a ) = b2 a + c2 a ….. (2)
Dari (1) dan (2) diperoleh ( b + c )  a  ( b  a ) + ( c  a ) atau tidak berlaku distributif kanan  terhadap penjumlahan.

GRUP DARI KLEIN

Perhatikan persegi panjang ABCD pada gambar berikut :
D Y C
0 X

A B

X dan Y adalah sumbu-sumbu simetri persegí panjang ABCD. Persegi panjang ABCD diadakan transformasi sehingga persegi panjang ABCD tetap pada bingkainya. Transformasi-transformasi itu adalah I yaitu persegi panjang tetap seperti semula karena diputar satu putaran (360 derajat) dengan pusat O, H yaitu diputar setengah putaran (180 derajat) dengan pusat O, Rx yaitu refleksi (dicerminkan) terhadap sumbu X, dan Ry yaitu refleksi (dicerminkan) terhadap sumbu Y. Perhatikan sekarang G = { I , H , Rx , Ry }, dan operasi o didefinisikan pada G bahwa Rx o Ry berarti refleksi terhadap sumbu Y dilanjutkan dengan refleksi terhadap sumbu X dan hasilnya sama dengan diputar setengah putaran dengan pusat O, yaitu H, sehingga Rx o Ry = H yang dapat dijelaskan sebagai berikut :

Operasikanlah setiap pasang elemen-elemen dari G terhadap operasi o, dan lengkapilah tabel berikut :
o I H Rx Ry
I
H
Rx
Ry I H Rx Ry
H ... ... ...
Rx Ry ... H
Ry ... ... ...
Amatilah tabel di atas apa perbedaan yang ada jika dibandingkan dengan grup yang sudah anda kenal.

Perhatikan himpunan S = { 1 , 2 , 3 , 4 }. Banyaknya permutasi elemen-elemen himpunan S adalah 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24. Setiap permutasi dapat dipandang sebagai suatu fungsi dari S ke S. Misalnya :
α =
β =
γ =
δ =
Misalkan operasi o didefinisikan operasi dilanjutkan pada himpunan permutasi-permutasi tersebut, misalnya :
β o γ = o = = δ
γ o δ = o = = β
dan seterusnya lengkapi tabel berikut :
o α β γ δ
α
β
γ
δ α β γ δ
β α δ γ
γ β
δ

Notasi lain yang lebih singkat untuk suatu permutasi ditulis dengan notasi sikel sebagai berikut :
θ = ditulis sebagai sikel ( 1 2 3 4 )
Sikel ( 1 2 3 4 ) dimaksudkan 1 → 2, 2 → 3, 3 → 4, 4 → 1.
μ = ditulis sebagai sikel ( 1 2 )
Sikel ( 1 2 ) dimaksudkan 1 → 2, 2 → 1, 3 → 3, 4 → 4. Dihilangkan karena memasangkan ke dirinya sendiri. Karena permutasi hanya dipandang urutannya, maka penulisan permutasi sebagai sikel dapat bermacam-macam asal urutannya tetap. Misalnya ( 1 2 3 4 ) = ( 2 3 4 1 ) = ( 3 4 1 2 ) = ( 4 1 2 3 ) dan ( 1 2 ) = ( 2 1 ).
α = dapat ditulis sebagai sikel ( 1 ) = ( 2 ) = ( 3 ) = ( 4 )
γ = dapat ditulis sebagai sikel ( 1 3 ) ( 2 4 )
Sikel ( 1 3 ) ( 2 4 ) dimaksudkan 1 → 3, 3 → 1, 2 → 4, 4 → 2.
β = dapat ditulis sebagai sikel ( 1 2 ) ( 3 4 )
δ = dapat ditulis sebagai sikel ( 1 4 ) ( 2 3 )
Operasi o pada permutasi tidak bersifat komutatif, seperti berikut :
( 1 2 3 4 ) o ( 2 3 ) = ( 1 3 4 )
( 2 3 ) o ( 1 2 3 4 ) = ( 1 2 4 )
Jadi ( 1 2 3 4 ) o ( 2 3 ) ≠ ( 2 3 ) o ( 1 2 3 4 )

GRAF (GRAPH)

Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E) yang dalam hal ini dimaksudkan:
V = Himpunan berhingga dan tidak kosong dari simpul-simpul (vertices atau node) = { v1 , v2 , .... , vn }
E = Himpunan sisi (edges atau arcs) yang menghubungkan sepasang simpul = { e1 , e2 , .... , en }
Atau dapat ditulis singkat notasi G = (V,E).
Contoh : Gambar (a) graf sederhana, (b) graf ganda, dan (c) graf semu
(e) V = { 1 , 2 , 3 , 4 }
E = { (1,2) , (1,3) , (2,3) , (2,4) , (3,4) }
(f) V = { 1 , 2 , 3 , 4 }
E = { (1,2) , (1,3) , (1,3) , (2,3) , (2,4) , (3,4) , (3,4) }
= { e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 }
(g) V = { 1 , 2 , 3 , 4 }
E = { (1,2) , (1,3) , (1,3) , (2,3) , (2,4) , (3,4) , (3,4) , (3,3) }
= { e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 , e8 }

Contoh : Graf tak berarah dan graf berarah
Aplikasi graf :
1. Rangkaian listrik
2. Isomer senyawa kimia karbon
3. Basis data
4. Pengujian program
5. Teori Otomata